Introducción
Es posible que la idea central en
matemáticas sea el concepto de función.
Al parecer, esta palabra fue
introducida por Descartes en 1637. Para él, una significaba
tan sólo cualquier potencia entera positiva de una variable x. Leonard
Euler identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera variables y
constantes, con la palabra función; esta idea es similar a la utilizada ahora
en los cursos precedentes al de cálculo. Posteriormente, el uso de funciones en
el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor, condujo a una definición
muy amplia gracias a Dirichlet, la cual describe a una función como una regla
de correspondencia entre dos conjuntos, definición que ya utilizamos en el primer
capítulo de este libro y que ahora ampliaremos al conjunto de los números
reales.
Función
de una variable real
Sean X y Y dos conjuntos no vacíos,
subconjuntos de los números reales. Una función de variable real de X en Y es una regla de correspondencia
que asocia a cada elemento de X
un único elemento de Y. Esto se representa simbólicamente por:
A la variable x se
le llama variable independiente y a la variable y se la conoce como
variable dependiente.
Definición 3.1
(Función de una variable real)
La definición de
función asegura que no pueden existir dos valores diferentes de y (variable dependiente) para un mismo valor de x (variable independiente).
A la variable x de
una función a veces se la denomina argumento de la función. Pensar en la
variable independiente como un argumento, en ocasiones facilita la aplicación
de la regla de correspondencia de la función.
De acuerdo a las
definiciones dadas en el capítulo 1 de este libro, todos los elementos del
conjunto de partida X deben
estar relacionados con algún elemento de Y. Tanto X como
Y pueden
ser el conjunto de los números reales o un subconjunto del mismo.
Cualquier símbolo
puede ser utilizado para representar las variables independiente y dependiente.
Por ejemplo, si 
es la función cúbica,
entonces puede ser definida por 
, 
o 
Las tres reglas de correspondencia son
idénticas: cada una indica que debemos obtener el cubo de la variable independiente.
Funciones de una variable
real
Dominio de una función de variable real
Sea f una función de
variable real f: X → Y. El conjunto X para el cual se encuentra
definida, constituye el dominio de la función. Este conjunto se representa
simbólicamente por dom f.
Se puede expresar el dominio de
una función mediante la notación de intervalos, la notación de conjuntos, o con
palabras, según sea lo más conveniente.
Se dijo anteriormente que el
dominio de una función lo constituyen los valores posibles de x, estos
valores serán aquellos para los cuales la expresión y = f (x)
esté definida en los reales. A partir de esto, podemos anotar lo siguiente:
·
Si
f (x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se
hace cero, por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de x que
provocan esta situación.
·
Si
f (x) contiene una raíz de índice par, esta existirá sólo si el
radicando es positivo o cero.
Existen otras restricciones que
se aplican a funciones de variable real, las cuales se irán analizando en
secciones posteriores.
Dada la regla de correspondencia
de una función, encontrar su dominio constituye una actividad que se reduce a
manipulación de expresiones algebraicas.
Ejemplos de dominio de una función de variable real.
Determinar el dominio de la
función 
Solución:
Resulta evidente que la regla de
correspondencia dada no presenta restricción alguna.
Por lo tanto, 
.
Determinar el dominio de la
función 
Solución:
El cociente 
está definido
cuando 
, es decir, cuando 
.
Por lo tanto, 
.
Determinar el dominio de la
función 
Solución:
El radical 
está definido cuando 
, es decir, cuando
Por lo tanto, 
.
Determinar el dominio de la función 
.
Solución:
Como el radical está en el
denominador, la expresión 
solamente puede ser positiva y no puede tomar
el valor de cero.
Por lo tanto, 
.
Rango
de una función de variable real
Sea f una función de
variable real
,
el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio, constituye el
rango de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por
.
Un procedimiento para obtener la
imagen de una función
,
es el siguiente:
·
Despejar
algebraicamente la variable x en la función.
·
El
rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y, una vez
despejada la variable x.
Ejemplos
de rango de una función de variable
real.
Determinar
el rango de la función
Solución:
Multiplicamos ambos miembros por x.
Factorizamos.
Despejamos x.
El
cociente 
está definido cuando, es decir, 
cuando
.
Por
lo tanto, 
.
Determinar
el rango de la función 
.
Solución:
Despejamos x.
Extraemos la
raíz cuadrada.
El
radical está definido cuando 
, es decir, cuando 
.
Por
lo tanto, 
. (Escuela Superior Politecnica del
Litoral )
