Blog de Matemáticas: FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

Introducción

Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función.

Al parecer, esta palabra fue introducida por Descartes en 1637. Para él, una significaba tan sólo cualquier potencia entera positiva de una variable x. Leonard Euler identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera variables y constantes, con la palabra función; esta idea es similar a la utilizada ahora en los cursos precedentes al de cálculo. Posteriormente, el uso de funciones en el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor, condujo a una definición muy amplia gracias a Dirichlet, la cual describe a una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos, definición que ya utilizamos en el primer capítulo de este libro y que ahora ampliaremos al conjunto de los números reales.

Función de una variable real

Sean X y Y dos conjuntos no vacíos, subconjuntos de los números reales. Una función de variable real de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X un único elemento de Y. Esto se representa simbólicamente por:

A la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se la conoce como variable dependiente.

Definición 3.1 (Función de una variable real)

La definición de función asegura que no pueden existir dos valores diferentes de y (variable dependiente) para un mismo valor de x (variable independiente).

A la variable x de una función a veces se la denomina argumento de la función. Pensar en la variable independiente como un argumento, en ocasiones facilita la aplicación de la regla de correspondencia de la función.

De acuerdo a las definiciones dadas en el capítulo 1 de este libro, todos los elementos del conjunto de partida X deben estar relacionados con algún elemento de Y. Tanto X como Y pueden ser el conjunto de los números reales o un subconjunto del mismo.

Cualquier símbolo puede ser utilizado para representar las variables independiente y dependiente. Por ejemplo, si

es la función cúbica, entonces puede ser definida por

Las tres reglas de correspondencia son idénticas: cada una indica que debemos obtener el cubo de la variable independiente.

Funciones de una variable real

Dominio de una función de variable real

Sea f una función de variable real f: X → Y. El conjunto X para el cual se encuentra definida, constituye el dominio de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por dom f.

Se puede expresar el dominio de una función mediante la notación de intervalos, la notación de conjuntos, o con palabras, según sea lo más conveniente.

Se dijo anteriormente que el dominio de una función lo constituyen los valores posibles de x, estos valores serán aquellos para los cuales la expresión y = f (x) esté definida en los reales. A partir de esto, podemos anotar lo siguiente:

· Si f (x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de x que provocan esta situación.

· Si f (x) contiene una raíz de índice par, esta existirá sólo si el radicando es positivo o cero.

Existen otras restricciones que se aplican a funciones de variable real, las cuales se irán analizando en secciones posteriores.

Dada la regla de correspondencia de una función, encontrar su dominio constituye una actividad que se reduce a manipulación de expresiones algebraicas.

Ejemplos de dominio de una función de variable real.

Determinar el dominio de la función